Teorema de Pitágoras.

 

Teorema de Pitágoras: fórmulas, ejemplos y ejercicios resueltos. 

El teorema de Pitágoras es uno de los más conocidos y ampliamente utilizados en geometría Euclídea para resolver triángulos rectángulos e incluso figuras más complejas separándolas en triángulos rectángulos fáciles de calcular.

Teorema de Pitágoras

Es una fórmula, proveniente de la Geometría Euclidiana denominada así en honor al matemático griego Pitágoras, que establece una relación entre los 3 lados de un triángulo rectángulo. Es decir, conocidos dos de ellos es posible calcular el otro con esta ecuación.

La definición formal del Teorema de Pitágoras establece que:

El cuadrado de la hipotenusa h de un triángulo rectángulo cualquiera, es igual a la suma del primer cateto 1 al cuadrado más el segundo cateto 2 también al cuadrado.

Escrito en lenguaje algebraico, esta relación quedaría como:

                              

                                    h2=c21​+c22

Donde ${�}_1$ y ${�}_2$ son los catetos del triángulo rectángulo. Otra forma de interpretar al Teorema de Pitágoras, es a través de las áreas que forman los cuadrados representados por cada uno de los lados del triángulo rectángulo.

Si a cada uno de los lados del triángulo rectángulo lo asociamos con el lado de un cuadrado, la ecuación del Teorema de Pitágoras nos diría que:

El área del cuadrado de lado 

$ℎ$ es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado ${�}_1$ y ${�}_2$.

Demostración del teorema de Pitágoras

Existen numerosas vías para demostrar al teorema de Pitágoras, algunas mas gráficas otras recurren al álgebra, en este caso desarrollaremos una alternativa intermedia que puede realizarse con fórmulas y de manera gráfica. Cada paso lo ilustraremos con imágenes para facilitar la demostración.

Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo cualquiera con lados $ℎ��$, donde $ℎ$ es la hipotenusa y tanto $�$ como $�$ son catetos.

Teorema de Pitágoras fórmula

La fórmula del teorema de Pitágoras permite determinar un lado desconocido teniendo como dato a los otros dos. A continuación, te presento las variantes del teorema de Pitágoras, con las que podrás determinas cualquiera de los lados de un triángulo rectángulo:

Calcular el lado ${�}_1$

${�}_1=\sqrt{{ℎ}^2-{{�}^2}_2}$

Calcular el lado ${�}_2$

${�}_2=\sqrt{{ℎ}^2-{{�}^2}_1}$

Calcular a la hipotenusa

$ℎ=\sqrt{{{�}^2}_1+{{�}^2}_2}$

Ten en cuenta que la ecuación que permite calcular a ${�}_1$ o a ${�}_2$ es la misma, solo debes considerar que a la izquierda va el lado desconocido y dentro del radical el lado conocido junto a la hipotenusa.

Ejemplo 1: cálculo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Dado el triangulo rectángulo de la figura, calcule la longitud de su hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras.

Solución:

Comenzamos por identificar los lados del triángulo. El primer cateto será ${�}_1=4$, el segundo ${�}_2=5$ y la hipotenusa $ℎ$, la cual es desconocida. Sustituimos los valores en la fórmula para sacar la hipotenusa:

${ℎ}^2={�}_1^2+{�}_2^2$

Sustituyendo.

${ℎ}^2=4^2+5^2$

Calculamos los cuadrados de 4 y 5.

${ℎ}^2=16+25=41$

Ahora, aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros para despejar la hipotenusa.

$ℎ=\sqrt{41}$

Podemos concluir este ejemplo aportando dos observaciones. Primero, que no importa el orden que se le dé a los catetos en la ecuación, el resultado será el mismo. Si en lugar de ${�}_1=4$ y  ${�}_2=5$ hubiésemos escrito ${�}_1=5$ y ${�}_2=4$, se obtiene que:

$ℎ=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$

Danilo. (2022). Teorema de Pitágoras: fórmulas, ejemplos y ejercicios resueltos. Unibetas Curso Examen De Admisión Online. https://unibetas.com/teorema-de-pitagoras#:~:text=La%20definici%C3%B3n%20formal%20del%20Teorema,cateto%202%20tambi%C3%A9n%20al%20cuadrado.&text=Donde%20C1%20y%20C2%20son%20los%20catetos%20del%20tri%C3%A1ngulo%20rect%C3%A1ngulo.